Д. т. н. Иваницкий А.М., к. ф-м. н. Дмитриева И.Ю., Рожновский М.В.

Одесская национальная академия связи им. А. С. Попова, Украина

Сведение классической системы уравнений Максвелла к скалярным уравнениям относительно компонент векторов  и

      

            В классической электродинамике всегда существовала проблема определения минимального числа постулатов. Еще в 1890 г. в своей работе «Об основных уравнениях электродинамики покоящихся сред» Р.Г. Герц показал [1], что в покоящихся средах первые два векторных уравнения Максвелла являются основными постулатами. С учетом трех материальных уравнений они представляют собой совместную систему шести дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [1]. Неизвестные в этой системе – скалярные функции над пространством R4 [2], – координаты векторов напряженности электрического и магнитного полей.

         К настоящему моменту вышеуказанная проблема, а также вопрос разрешимости соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных не потеряли своей актуальности для электродинамики сред различной характеристики, что и является основной изучаемой здесь задачей.

         Так, в работе [3] исследовался вопрос зависимости третьего и четвертого уравнений Максвелла от первых двух уравнений. Этот результат позволил утверждать, что при аксиоматическом построении классической электродинамики линейных однородных изотропных покоящихся сред  при наличии сторонних токов достаточно в качестве двух основных постулатов принять первые два векторных уравнения. Приведенное в [3] доказательство было получено благодаря обоснованному свойству консервативности многомерных экспофункций [4], [5].

         На современном этапе изучения поставленной выше задачи стал почти классическим результат В.С. Владимирова [6] о существовании решения уравнений Максвелла в частном случае, – для пассивных систем.

         Кроме того, в известной работе А.М.  Иваницкого [7]  была доказана разрешимость классической максвелловской системы в дифференциальной форме при наличии схемы замещения цепи. При этом была задействована теория многомерных цепей без применения аналитических методов.

         Подобная задача в классической электродинамике решена для случая установившихся электромагнитных процессов [8], применяя тождества векторного анализа [2].

         Однако, насколько известно, математическое обоснование конструктивного решения классической системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме для произвольных электромагнитных процессов пока не приведено. В связи с этим целью данной работы является чисто аналитическое доказательство существования вышеуказанного решения, и именно для такой системы, но без потери исходной физической постановки задачи.

         Рассматриваемая в данной работе задача решается с помощью последовательного применения соответствующих дифференциальных  операторов к шести основным дифференциальным уравнениям в частных производных относительно компонент векторов напряженностей электрического и магнитного полей  и  в пространстве R4 [2].

Таким образом, исходная система сводится к равносильной ей системе из шести скалярных уравнений,  каждое из которых содержит только одну искомую компоненту указанных векторов.

1.     Сведение классической системы дифференциальных уравнений Максвелла к скалярным уравнениям относительно компонент вектора        

Рассмотрим алгоритм преобразования классической максвелловской системы уравнений в дифференциальной форме для однородных изотропных покоящихся сред к эквивалентной системе, одно из уравнений которой является уже не векторным, а скалярным, то есть содержит лишь одну неизвестную компоненту вектора . Не нарушая общности рассуждений, проведем необходимые выкладки для координаты .

Предварительно введем следующие обозначения:

 и  - искомые вектор-функции, описывающие напряженность электрического и магнитного полей соответственно со скалярными компонентами  и   в традиционном координатном пространстве R4; дифференциальные операторы по неизвестным действительным переменным x, y, z, t обозначим  через

.

Положительные постоянные:

σ – удельная проводимость среды;

μа, εа – абсолютная магнитная и диэлектрическая проницаемость среды соответственно.

         Вектор-функция  предполагается известной и описывает сторонние источники тока, а   - ее скалярные компоненты также над пространством R4.

         Тогда основные два уравнения классической максвелловской системы покоординатно запишутся так

                               (1)

либо в эквивалентной форме

                                   (2)

Применим к первым трем уравнениям системы (2) оператор , а к последним трем – операторы  соответственно и сложим почленно, – первое и шестое, третье и пятое, вторе и четвертое уравнения системы. В итоге придем к равносильной системе

                 (3)

При этом естественно предполагается, что вектор-функции   и  а значит, и их компоненты, непрерывно-дифференцируемы в заданной области из R4 необходимое число раз, то есть для «смешанных» дифференциальных операторов выполняется очевидное тождество                                                   

Далее перепишем первые три уравнения (3) и подставим первое выражение в шестое уравнение, второе – в четвертое, а третье – в пятое. В результате получим равносильную систему. При этом в полученной системе и всюду в дальнейшем используется очевидное свойство линейности всех рассматриваемых дифференциальных операторов, а также их последовательное применение, которое понимается в обычном смысле – «справа налево», и            . После введения стандартного обозначения для операторов Лапласа в R3 –  результат преобразований запишем в следующем виде:

                (4)

Положив далее оператор

,                                                        (5)

запишем только первые три уравнения системы (4)

                             (6)

и сведем дальнейшими эквивалентными преобразованиями матрицу дифференциальных операторов системы (6) к диагональному виду, то есть в результате получим три скалярных уравнения относительно каждой из компонент .

             (7)

         Система искомых скалярных уравнений (7) полностью реализует цель, поставленную в начале данного пункта.

2.     Сведение классической системы дифференциальных уравнений Максвелла к скалярным уравнениям относительно компонент вектора  

Воспользовавшись результатами предыдущего раздела, поставим аналогичную цель – получения скалярных уравнений относительно всех трех компонент вектора  Для этого запишем последние три уравнения системы (4)

                                                      (8)

к которым применим один и тот же оператор –   и затем в правые части преобразованных уравнений подставим соответствующие выражения для  из системы (7). В результате преобразований получим следующую систему:

                                             (9)

         Система (9) равносильна исходной – (8), и состоит из искомых скалярных уравнений относительно всех трех компонент вектора . Таким образом, задача, поставленная в начале данного пункта, полностью решена.

         Следует подчеркнуть, что полученные системы скалярных уравнений (9) и (7), эквивалентные исходной системе (1) º (2), являются разрешимыми в силу результатов монографии [6], а значит, и исходная максвелловская система (1) также разрешима, что и требовалось обосновать. 

В заключение отметим, что в работе приведено чисто аналитическое доказательство существования решения классической системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме для покоящихся изотропных линейных сред.

Литература:

  1. Зоммерфельд А. Электродинамика. – М.: ИЛ, 1958. – 501 с..
  2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1964. – 664 с.
  3. Иваницкий А.М. Зависимость третьего и четвертого уравнений Максвелла от первых двух при произвольном возбуждении электромагнитного поля // Наукові праці ОНАЗ ім. О.С. Попова. – 2004. – №2. – С. 2 – 7.
  4. Иваницкий А.М.  Реактивные элементы при экспофункциональных воздействиях // Информатика и связь. – 1996. – №1. – С. 236 – 240.
  5. Иваницкий А.М.  Экспофункциональные поля // Наукові праці УДАЗ   ім. О.С. Попова. – 2001. – №1. – С. 18 – 21.
  6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 320 с..
  7. Иваницкий А.М. Свойства дифференциальных операторов многомерных электрических цепей // Сб. научных трудов УГАС им. А.С.  Попова. – Одеса, 1998. – с. 37 – 41.
  8. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1971. – 488 с.