Сизоненко В.Л.

Харьковский национальный аграрный университет им. В.В. Докучаева

Нормальное распределение частиц в турбулентной плазме

В работе [1] выведена замкнутая система уравнений для электрических полей и траекторий заряженных частиц турбулентной плазмы в предположении, что радиус-вектор каждой частицы и ее скорость можно представить в следующем виде:

; (1)

где – начальное (в момент времени ) положение частицы, , – усредненные по всем значения, , и – флуктуирующие с изменением части, для которых справедливо: . Здесь – символ усреднения по в объёме плазмы V.

Существенным пунктом в этой модели являлось допущение, что при усреднениях по величины и пробегают значения, близкие к нормальным законам распределения [2], что, вообще говоря, заранее не очевидно. Поэтому в настоящей работе предпринята попытка строго обосновать данное положение.

Для простоты доказательств рассмотрим задачу в одномерном приближении, хотя изложенная далее методика применима и к трехмерному случаю. Пусть потенциал можно представить суперпозицией отдельных волновых пакетов: , где

(2)

где – амплитуда Фурье-разложения, – его фаза, – волновой вектор, – частота колебаний (; ; ).

При выражение (2) отлично от нуля в области , ( – групповая скорость) и имеет вид:

(3)

где и – значения и при .

Подставляя (3) в уравнение движения частицы

(4)

( и – электрический заряд и масса), нетрудно получить, что за промежуток времени , малый по сравнению с временем изменения амплитуды, но большой по сравнению с временем прохождения частицей одного волнового пакета , приращение скорости будет малым , если

(5)

где ,

,

.

Соотношениями (5) формально нельзя пользоваться при , поскольку такие частицы могут быть захвачены электрическими полями пакетов, когда условие перестает выполняться. Однако для качественного понимания процессов эти соотношения подходят и в указанном случае, тем более, что захвата частицы каким-то одним волновым пакетом может и не происходить из-за её одновременного взаимодействия с другими пакетами (так называемый эффект «уширения» резонансов) [1].

Из (3) – (5) следует, что вклад в сумму по дают только те пакеты, для которых выполняются неравенства: ; . Первое из них указывает на большое количество слагаемых , второе – на вклад тех волн, которые находятся в резонансе с частицей (условие черенковского резонанса).

В турбулентной плазме каждый волновой пакет может иметь свои значения , и , отличные от соседних, так что правая часть (5) представляет собой сумму большого числа случайных чисел. Разбивая теперь размер плазменного облака на частей, видим, что в каждой из них справедливо соотношение (4), но величины , и пробегают все мыслимые для них значения. В случае же каждое приобретает смысл случайной величины теории вероятностей [2], а – суммы случайных величин. Таким образом, усреднение выражений и по всем значениям (по всему << объему >> плазмы ) эквивалентно усреднениям по статистическим ансамблям случайных величин.

Покажем теперь, что Х может состоять из сумм нормально распределенных случайных величин. Считая фазы в равномерно распределенными в интервале и проводя сперва усреднения по этим фазам, получим, что

, (6) где – математическое ожидание (среднее значение), – среднеквадратическое отклонение, а черта сверху означает статистическое усреднение. Из (6) следует, что , т.е. , .

Пусть при усреднениях величина изменяется непрерывно , а её закон распределения задан следующей дифференциальной функцией:

. (7).

Тогда из (6), (7) получим, что

(8).

Вычисляя также с учетом (5), (7), (8) будем иметь:

(9).

Но точно такую же зависимость от можно получить в том случае, когда закон распределения случайной величины – нормальный [2]:

(10).

Это обстоятельство позволяет утверждать, что при законе (7) величина состоит из суммы нормально распределенных случайных величин.

Можно показать, используя для суммы разложение в Бином Ньютона и усредняя слагаемые вида по двум статистическим распределениям, что зависимость от и от та же, что и в (9). Аналогично (заменяя на ) сохранение этой закономерности доказывается для суммы трех нормально распределенных величин , четырех, и т.д.

Следовательно, случайная величина , состоящая из любого числа нормально распределенных слагаемых, подчиняется нормальному закону распределения. Для дифференциальных функций, отличных от (7), функция может не совпадать с (10), т.е. закон распределения для не всегда обязан быть нормальным.

Доказав возможность присутствия нормальных законов распределения в турбулентной плазме для промежутка времени , мы тем самым доказали такую же нормальность распределений для и в любой момент времени , поскольку последний случай отличается от предыдущего только учетом большего числа нормально распределенных слагаемых.

Следует обратить внимание на тот факт, что при из (8) вытекает: . Это значит, что «захваченные» частицы рассеиваются волнами намного быстрее, чем «полётные», и их статистические распределения ближе к равномерным , чем к нормальным.

Итак, мы показали, что допущения о нормальных законах распределений для величин и , сделанные в работе [1], вполне оправданы. Вместе с тем, уравнения (7) – (9) этой работы правильны только качественно и по порядку величины, поскольку при их выводе использовано феноменологическое приближение: , где .

Если такого расщепления на произведения средних не производить, то методом, изложенным в [1], удается вывести следующую (более точную) систему уравнений:

, (11)

(12)

, (13)

где использовано разложение в ряд Фурье:

, ,

– скорость частицы,

– её начальная скорость, – функция распределения частиц по начальным скоростям, ; – комплексная частота колебаний ();

– функция Крампа, ; суммирование по означает суммирование по всем сортам заряженных частиц (электронам, ионам), – плазменная частота, – плотность частиц плазмы.

Нетрудно убедиться, что система уравнений (11) – (13) допускает закон сохранения энергии всех частиц и электрического поля волн.

Литература:

1. Сизоненко В.Л. О разрушении Черенковского резонанса в плазме // Матеріали II Міжнародної науково-практичної конференції «Дні науки – 2006», 17-28 квітня 2006 р., т. 34. Фізика. – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2006. – С.27-30.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. Школа, 1972.