Рашевская Н.В.
Криворожский технический университет
Исследование
неустойчивости типа «шейки» при билинейной разномодульности
Опыты на растяжение образцов
показывают, что, начиная с некоторого критического момента, деформированное
состояние гладкой части образца перестает быть однородным.
Задача об исследовании устойчивости
полосы при малых докритических деформациях рассматривалась в ряде работ [1-7]. В [1, 7]
предполагалось, что потеря устойчивости определяется в основном изменением
граничных условий. В работе [2] проанализирован процесс потери
устойчивости с учетом углов поворота в уравнениях равновесия [8] и
сохранения членов того же порядка малости в граничных условиях. В [10] потеря
устойчивости полосы определяется, исходя из нелинейного соотношения между
напряжениями и деформациями, при этом уравнения равновесия приняты в форме [8].
Настоящая
работа ставит
целью исследование потери устойчивости
при плоском растяжении разномодульно упругого материала [9].
К настоящему времени используются несколько условий бифуркации, которые
приводят, вообще говоря, к разным значениям критической нагрузки [1, 5, 7, 8].
Однозначного ответа об определении единственно истинного условия бифуркации для
пространственных тел нет, хотя он до недавнего времени интенсивно изучался [5].
Поэтому для данной задачи рассматриваются различные варианты условий
бифуркации: классический [8],
Лейбензона – Ишлинского [1, 7],
и Клюшникова [5].
Действительное значение критической нагрузки соответствует тому условию,
которое приводит к бифуркации на более ранней стадии нагружения. Поскольку
классический вариант в упругости не способен описать образование «шейки» при растяжении [5],
то для данной задачи рассмотрению подлежат варианты Лейбензона - Ишлинского и
Клюшникова.
Отметим, что в работе
рассматривается вопрос
о возникновении «шейки» при растяжении для простейшего тензорно - линейного
частного случая модели [9].
Исследуется устойчивость полосы
толщиной 2h в условиях плоской деформации в плоскости x0y при растяжении вдоль оси 0x.
Рассмотрим
упругий материал с потенциалом вида [9]:
W=
, (1.1)
где q = e ijd ij , D2 = e ije ij , I3 =e ije jke ki; l, m, n, a, b - постоянные
величины.
Основным определяющим соотношением будет выражение для тензора деформации:
s ij = (l - 
)qd ij + (2m - ng )e ij. (1.2)
Для определения критического напряжения потребуется представление связи
между скоростями напряжений и деформаций.
= ld ijd kl + 2md ikd jl – n (g kld ij + g ijd kl) -
ng(d ikd lj - g ijg kl) - (1.3)
где 
, 
,
.
Задача
о шейке рассматривается в рамках плоской деформации, при малых докритических деформациях,
когда
; 
; g 12 = 0.
Критическое
значение напряжения s 011 при плоской деформации в подходах
Лейбензона - Ишлинского и Клюшникова определяется соответственно [6]:
(1.4)
(1.5)
где коэффициенты
А, В, С входят в следующие уравнения связи в скоростях:
, 
, 
Используя выражение
(1.3), получим:
(1.6)
Рассмотрим вопрос об образовании шейки при условии, что ненулевыми
параметрами напряжения и деформации будут s 11, s 33, e 11, e 22. Причём для плоской
деформации должны выполняться следующие условия:
s 22 = 0, s 11 > 0,
s 33 > 0, e 33 = 0, e 11 > 0, e 22 < 0.
Для
получения критического значения напряжения запишем следующую систему уравнений:
(1.7)
Здесь S13 = 
, a e12 = 
.
Необходимые для решения системы параметры найдем следующим образом:
, 
. (1.8)
Рассмотрим
задачу о шейке, когда ненулевыми параметрами являются l, m, n, причём l = 2000 кгс/мм2,
m = 1500 кгс/мм2,
n Î {-2570… 1900} кгс/мм2.
Решив
систему (1.7) с учетом условия (1.8), получим искомые значения параметра g и соответствующие
ему значения критического напряжения при заданных параметрах n (результаты
подадим в виде таблицы).
Таблица
1
|
n, кгс/мм2 |
g |
|
Клюшников
|
n, кгс/мм2 |
g |
|
Клюшников
|
|
-2570 -2560 -2550 -2500 -2400 -2300 -2200 -2121,3204 -2100 -2000 -1900 -1800 -1700 -1600 -1500 -1400 -1300 -1200 -1100 -1000 -900 -800 -700 -600 -500 |
-0,552711182 -0,467966271 -0,426112988 -0,31010258 -0,18644345 -0,105005456 -0,041924646 0 0,010493852 0,055847094 0,096143142 0,132630234 0,166143524 0,197272425 0,226450417 0,25400698 0,280199358 0,305233075 0,329275596 0,352465799 0,374920694 0,396710305 0,418011381 0,438810121 0,459204332 |
2217,519 2668,341 2907,938 3632,993 4505,815 5134,67 5648,021 6000 6089,26 6479,461 6830,8 7151,094 7445,72 7718,59 7972,66 8210,24 8433,19 8648,38 8841,07 9028,411 9206,039374,801 9535,55 9689,03 9835,98 |
5490,17 5550,24 5594,71 5739,39 5888,18 5960,79 5993,28 6000 5999,56 5986,79 5959,27 5919,83 5870,42 5812,47 5747,07 5675,1 5597,13 5513,78 5425,48 5332,58 5235,4 5134,19 5029,17 4920,53 4808,43 |
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 |
0,479255205 0,499018582 0,518546186 0,537886602 0,557086011 0,576189034 0,595239373 0,614280545 0,633356456 0,652512198 0,671794779 0,691253968 0,710943271 0,730921223 0,751252797 0,772011329 0,79328096 0,815159913 0,837764981 0,861237824 0,885754072 0,911537101 0,938879521 0,968178785 |
9977,16 10113,31 10245,24 10373,82 10500 10624,9 10749,81 10876,29 11006,24 11142,03 11286,71 11444,24 11619,92 11820,97 12057,58 12344,49 12703,97 13171,16 13804,86 14711,36 16103,88 18481,05 2331,13 38181,83 |
4692,995 4574,35 4452,58 4327,78 4200 4069,304 3935,728 3799,3 3660,036 3517,941 3373,008 3225,216 3074,532 2920,911 2764,289 2604,586 2441,7 2275,505 2105,846 1932,53 1755,317 1573,907 1387,913 1196,836 |
Критическое
значение напряжения для рассматриваемого случая следует определять из условия Лейбензона –
Ишлинского при n Î {-2570…-2121.3204},
которое приводит к бифуркации быстрее, чем условие Клюшникова;
и условия Клюшникова при nÎ{-2121.3204…1900},
которое соответствует условию классического упругого тела: разномодульность
приводит к увеличению значения критической нагрузки, если модуль упругости по
растяжению больше, чем по сжатии, и к уменьшению критической нагрузки при
модуле упругости большем при сжатии, чем при растяжении. При этом получаем, что
при g = 0 (условие несжимаемости),
имеем результат, описанный Клюшниковым [5]:
.
Литература
1. Ишлинский А.Ю. Рассмотрение
вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической
теории упругости // Укр. мат. журн. – 1954. – 6, №2. – С. 140 -146.
2. Ершов Л.В. Об образовании шейки в плоском
образце при растяжении //ПМТФ - 1961. -
№1. - С. 135-137.
3. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Об устойчивости полосы
при сжатии // Докл. АН СССР - 1961. -138, №5. - С. 1047-1049.
4. Жуков А.М. К вопросу возникновения шейки в
образце при растяжении // Инж. сб. - 1949. - 5, вып. 2. - С. 34-40.
5. Клюшников В.Д. Лекции по
устойчивости деформированных систем. – М.: Изд.-во МГУ, 1986. – 224 с.
6. Клюшников В.Д.
Неустойчивость типа шейки при билинейной разномодульности // Изв. РАН. МТТ. –
1998. - №6. –С. 98-103.
7. Лейбензон Л.С. О применении
гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической
оболочек. Сб. сочинений. – М.: Изд.-во АН СССР, 1951. – 1. – С. 50-85.
8. Новожилов В.В. Основы нелинейной
теории упругости. – Л., М.: Гостехиздат, 1948. – 211 с.
9. Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой
разномодульной среды // ПММ. – 1993. – 57, № 5. - С. 153-159
10. Семчинов К.Н. Об одной задачи нелинейной
теории упругости //Инж. журн. - 1961. -1, №1.