Грицык В.И., Коропец П.А., Окост М.В.

Ростовский государственный университет путей сообщения

Аналитический анализ усиления подбалластной зоны железнодорожного пути

Современные способы усиления земляного полотна для повышения скоростей движения поездов предусматривают устройство покрытий основной площадки (ОП) в подбалластной зоне (ПБЗ) [1]. Современными методами расчетов железнодорожного пути учитываются особенности всех элементов верхнего строения (ВСП). ПБЗ земляного полотна рассматривается как изотропная грунтовая среда, при этом не учитывается ее конструктивная слоистость, прослойки усиления, устраиваемые в целях повышения жесткости основания (ж), регулирования (снижения) величины упругих осадок (у). Не учитываются динамический характер функционирования системы «Экипаж (колесо)–ВСП–ПБЗ», колебательные процессы системы при высоких скоростях движения поездов. Поэтому представляется целесообразным рассмотрение варианта механико-математической модели, учитывающей динамику процесса и слоистость конструкции усиления ПБЗ.

При воздействии необрессоренных масс подвижного состава в колебательный процесс вовлекаются рельсы и шпалы (имеющие высокие частоты собственных колебаний при малых массах), балласт (с большой массой), в ПБЗ (с большой массой) вовлекаются прослойки усиления. Поэтому допустимо рассматривать раздельно взаимодействие ВСП и ПБЗ с учетом их эквивалентных жесткостей и диссипативных характеристик. Тогда представление системы «колесо-ВСП-ПБЗ» возможно в виде дискретной двухмассовой модели (рисунок 1), где одна имеет приведенную массу т1, включающую необрессоренные (и обрессоренные) части подвижного состава и ВСП со своими жесткостью (ж1), коэффициентом демпфирования (f1); другая массу т2, включающую грунтовую среду ПБЗ со слоями усиления и своими ж2, f2. На рисунке О1, О2 – центры масс соответственно т1  и т2. Такая модель позволяет рассматривать динамические процессы в пути при воздействии на него масс подвижного состава (в неподвижной системе координат), а также колебания колесных пар подвижного состава на инерционном упруго-диссипативном пути (в подвижной системе координат).

Text Box:  
Рисунок 1 – Расчетная схема дискретной модели железнодорожного пути
Рассматриваемая материальная система имеет две неизвестные координаты z1 и z2 и две степени свободы, является идеальной голономной, для описания которой необходима аналитическая система уравнений, состоящая из двух дифференциальных уравнений.

Движение механической системы под действием приложенных к ней сил описывается дифференциальным уравнением Лагранжа второго рода [2]

,                                     (1)

где    Т – кинетическая энергия в заданной системе обобщенных координат qi­;

         П – потенциальная энергия системы;

         Ф­­­­ – диссипативная сила рассеивания;

         qi­,  – обобщенные координаты и обобщенные скорости соответственно;

         Qi – активная внешняя сила инерции, действующая на систему в направлении, соответствующем направлению обобщенной координаты qi­.

; ; ,                            (2)

где    β – коэффициент демпфирования.

После подстановки функций Т, П, Ф в уравнение Лагранжа (второго рода) и преобразований можно получить систему линейных дифференциальных уравнений [3]:

                    (3)

Для составления системы дифференциальных уравнений (3) вынужденных колебаний можно воспользоваться также общим уравнением динамики материальной системы в обобщенных координатах: работа внешних активных и инерционных сил, действующих на движущее тело (на возможных перемещениях δq) при вариации координат его траектории, должно быть равно нулю (принцип Д’Аламбера)

.                                                        (4)

В системе (3)  – возмущение, поступающее на вход системы, которое может быть представлено в матричном виде

                                             (5)

Система решается методом комплексных амплитуд [4]. Реакция системы на одно возмущение ,

где  – вектор комплексных амплитуд обобщенных координат системы.

Производные ; .

После подстановки производных система (5) будет иметь вид:

;                                 (6)

откуда                           ,                              (7)

где     – передаточная функция или амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы.

Спектральная плотность обобщенной координаты

,                                          (8)

где     – спектральная плотность возмущения.

Дисперсии и среднеквадратические значения обобщенных координат вычисляются по формулам [4]

, ;                               (9)

, ,                                               (10)

где     – частота среза спектра, определяющая точность интегрирования (≤ 5 %).

Если АЧХ системы имеет четко выраженные резонансы, они должны входить в диапазон частот 0-. Для этого  должна быть выше наибольшей собственной частоты системы. Вычисление собственных частот и форм системы возможно без учета демпфирования (с допустимой погрешностью) с использованием инерционной и жесткостной матриц системы. Тогда уравнение для определения собственных частот и форм системы:

.                                                   (11)

Точное значение собственных частот ω важно только для определения границ и частотного диапазона. Первичную информацию о частотном спектре системы можно получить на основе вычисления парциальных частот, входящих в состав общих колебаний (в предположении, что все недиагональные элементы жесткостной матрицы равны нулю). При этом матричное уравнение собственных частот и форм распадается на независимые уравнения (для определения каждой парциальной частоты) [3].

Разработанный комплект программ позволяет при задаваемых начальных условиях (параметрах):

- оценивать собственные частоты и формы колебаний системы (таблица);

- сопоставлять величину и время затухания перемещений в грунтовой среде, в балластном слое (рисунок 2);

- анализировать виброускорения в грунтовой среде, в балластном слое (рисунок 3);

- анализировать динамические нагрузки в грунтовой среде, в балластном слое (рисунок 4).

- оценивать АЧХ системы (рисунок 5).

При анализе использовано возмущение системы в виде одиночного импульса при различных значениях жi, которые на всех графиках показаны: 1 – для ж2 = 10 МН/м, 2 – ж2 = 20, 3 – ж2 = 40, 4 – ж2 = 60, 5 – ж2 = 80, 6 – ж2 = 100, 7 – для  ж2 = 120 МН/м.

       Таблица – Собственные частоты и коэффициенты форм колебаний системы

Жесткость нижней массы с2, кН/м

 

Частота ω, Гц

Коэффициенты форм колебаний

ω1

μ21

μ22

10

14,9

0,997

-0,145

20

21,0

0,994

-0,146

40

29,7

0,987

-0,147

60

36,4

0,981

-0,148

80

42,0

0,975

-0,149

100

46,9

0,968

-0,150

120

51,4

0,962

-0,151

 

Как видно из таблицы, с увеличением жесткости грунтовой среды соотношение собственных форм практически не изменилось, но вместе с тем существенно увеличилось значение ωi; наличие демпфирования незначительно влияет на полный спектр системы, что свидетельствует о распределении энергии колебаний между обобщенными координатами каждой из частот.

Рисунок 2 – Перемещения в грунтовой среде

Рисунок 3 – Виброускорения в грунтовой среде

Рисунок 4 – Динамические нагрузки в грунтовой среде

Рисунок 5 – АЧХ перемещений массы т2

Как видно из графиков существенно влияние упругости пути на величину вертикальных перемещений и на затухание колебаний (рисунок 2); величина значений виброускорений изменяется несущественно, но с ростом упругости значительно сокращается период затухания колебаний (рисунок 3). Аналогично влияние упругости на нагрузки, вызываемые возмущающим воздействием (рисунок 4).

Весьма существенно снижаются амплитуды АЧХ при увеличении упругости подбалластного основания, а резонансный подъем (максимальная амплитуда) смещается в область более высоких частот (рисунок 5).

Таким образом, анализируя параметрические зависимости системы можно достаточно обоснованно принимать технические решения по реконструктивным мероприятиям на железнодорожном пути [1].

Литература:

1. Грицык В.И. Расчеты земляного полотна железных дорог. М.: УМК МПС, 1998.

2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.

3. Шаповалов В.В., Коропец П.А., Шуб М.Б. Математическое моделирование динамической системы «экипаж-путь». // Вестник РГУПС, 2000, № 2.

4. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986.