Гараба С.С.

Запорожский национально-технический Университет

Економіко-математична модель формування інвестиційного портфеля (модель «рюкзака»)

Для формалізації умов рішення задачі введемо необхідні позначення:

х _j - бінарна змінна, що приймає значення 0 і 1; 1 відповідає умові ухвалення j-го інвестиційного проекту до реалізації, а 0 - інакше;

с _j - чиста приведена вартість j-го інвестиційного проекту, грн.;

К_j - капітальні вкладення, необхідні для реалізації j-го інвестиційного проекту, грн.;

І - об'єм бюджету капітальних вкладень, що розташовується, грн..

Необхідно на основі застосування моделі «рюкзака» максимізувати сукупну величину ЧПВ за всіма включеними в інвестиційний портфель проектами.

Цільова функція:

(1)

При дотриманні обмеження:

(2)

для j = 1, ..., m,

,

1 - якщо j-й інвестиційний проект прийнятий до реалізації;

0 - якщо j-й інвестиційний проект відхилений.

У даному випадку комерційний банк має п’ять альтернативних інвестиційних проектів, грошові потоки по яких приведені табл. Період реалізації проектів рівний трьом рокам. Запланований бюджет капітальних вкладень складає 340 тис. грн. Розрахункова процентна ставка - 10%. Результати розрахунків чистої приведеної вартості (ЧПВ) також приведені табл. 1.

Таблиця 1.

Початкові дані і результати розрахунків

ЧПВ за альтернативними інвестиційними проектами

Номер інвестиційного проекту	Тривалість планового періоду, роки				Чиста приведена вартість, грн.
	0	1	2	3
	Грошовий потік, тис. грн.
1	-90	45	40	490	14019.53
2	-45	24	23	24	13858.00
3	-80	35	35	40	10796.39
4	-170	75	80	85	28159.28
5	-100	40	50	50	15251.69

Для формування інвестиційного портфеля необхідно було продісконтіровать грошові потоки. З сукупної величини позитивних значень ЧПВ за кожним інвестиційним проектом необхідно відняти капітальні (стартові) вкладення.

Результати таких розрахунків виконані в останній графі вищенаведеної таблиці. Числова модель «рюкзака», що реалізовується на умовному прикладі, може бути записана таким чином:

Цільова функція:

14019.53 · х₁ + 13858 · х₂ +10796.39 · х₃ + 28159.28 · х₄ + 15251.69 · х₅ → max.

Обмеження:

90 000 · х₁ + 45 000 · х₂ + 80 000 · х₃ +170 000 · х₄ + 100 000 · х₅ ≤ 340 000,

для j = 1, ..., 5,

,

1 - якщо j-й інвестиційний проект прийнятий до реалізації;

0 - якщо j-й інвестиційний проект відхилений.

Дана модель є завданням цілочисельного лінійного програмування. Рішення її може бути знайдено повним перебором, методом «гілок і меж» або методом фільтруючого обмеження.

Оптимальний варіант для вирішення представленої моделі буде метод фільтруючого обмеження. Оптимальний інвестиційний портфель складатиметься з інвестиційних проектів 2,4 і 5, тобто х₁=0; х₂ =1; х₃=0; х₄ =1; х₅=1.

Реалізація оптимального інвестиційного портфеля зажадає капітальних вкладень в об'ємі 315 000 · (45 000 + 170 000 + 1 000 000) грн., а сукупна величина ЧПВ буде рівна 57268.97 · (13858 + 28159.28 + 15251.69) грн.

У представленому формулюванні моделі інвестиційні проекти реалізуються в повному об'ємі і лише один раз. Якщо інвестиційні проекти реалізуються частково, то умову завдання слід відповідним чином змінити. За допомогою модифікації моделі враховані такі відносини між інвестиційними проектами, як взаємне виключення або необхідність сумісної реалізації.

Якщо за окремими проектами потрібні капіталовкладення за межами встановленого планового періоду, то для таких періодів передбачаються відповідний бюджет капіталовкладень і обмеження на ліквідність.