Математика / Теория вероятностей и математическая статистика

Меренкова О.В.

Українська академія банківської справи Національного банку України

ВИКОРИСТАННЯ ІНТЕГРАЛУ ПУАССОНА ПРИ АНАЛІЗІ ВАРІАЦІЙНИХ РЯДІВ

В сучасних умовах розвитку економіки України актуальним є виявлення закономірностей розвитку явищ, що надає можливість аналізу, порівняння та узагальнення різноманітних сукупностей аналогічних даних. Якщо явища розглядати окремо, ізольовано одне від одного, вони здаються випадковими. Однак при зіставленні явищ в сукупності, можна виявити певну закономірність щодо формування цих явищ. Існування статистичних закономірностей і породжує необхідність їх опису за допомогою математичної формули, яка надасть можливість проведення аналізу варіаційних рядів даних.

Інтеграл Пуассона: 1) інтеграл виду

де і - полярні координати, - параметр, змінний на відрізку . Інтеграл Пуассона виражає значення функції , гармонійної всередині круга радіуса , через її значення , задані на межі цього круга. Функція є рішенням задачі Діріхле для круга.

Гармонійні функції – функції від змінних (), неперервний в деякій області разом з частковими первісними першого та другого порядків та задовольняючі у цій області диференційному рівнянню Лапласа.

Найважливішими задачами теорії гармонійних функцій є краєві, або граничні, задачі, в яких вимагається знайти граничні функції усередині області на підставі даних, що відносяться до поведінки функції на межі цієї області. Така задача Діріхле, де гранична функція шукається по її значеннях, заданих в точках межі області (наприклад, визначення температури усередині тіла по температурі на його поверхні, підтримуваній так, що вона залежить тільки від точки, але не від часу, або визначення форми мембрани по вигляду контура, на який вона натягнута).

2) Інтеграл

зустрічається в теорії ймовірності і деяких задачах математичної фізики. С. Д. Пуассон запропонував вельми простий прийом для обчислення цього інтеграла. Вперше ж цей інтеграл був обчислений (1729) Л. Ейлером, тому називається також інтегралом Ейлера — Пуассона.

Для аналізу варіаційних рядів використовуються різні види теоретичного розподілу – нормальний розподіл, біноміальний розподіл, розподіл Пуассона та інші. Кожен із теоретичних розподілів має свою специфіку та галузь використання в різних галузях знань. Частіше використовується нормальний розподіл:

(1)

де - ордината кривої нормального розподілу; - стандартизована (нормована) величина; та - математичні сталі; - варіанти варіаційного ряду; - їх середня величина; - середнє квадратичне відхилення.

Нормальний розподіл з параметрами та , де , , якщо має наступну щільність розподілу:

(2)

Рисунок 1 – Графічне зображення щільності розподілу

Закон нормального розподілу проявляється тим точніше, чим більше випадкових величин діють разом. Якщо жодна з випадково діючих причин по своїй дії не переважає над іншими, то закон розподілу дуже близько підходить до нормального. Така закономірність проявляється, наприклад в розподілі кількості вкладів населення за грошовими сумами вкладень, в розподілі населення певного віку за розміром одягу та інше.

Розглянемо деякі властивості кривої нормального розподілу:

- функція нормального розподілу – парна;

- гілки кривої удалені у нескінченність та асимптотично наближуються до осі абсцис;

- при функція дає точки перегину;

- функція має максимум при ;площа між кривою та віссю абсцис дорівнює 1, як інтеграл Пуассона. Оскільки , то

де через позначений табличний інтеграл (інтеграл Пуассона)

Цей інтеграл обчислюється так:

Далі полярна заміна змінних:

Розглянемо розрахунок значень частот теоретичного ряду розподілу на основі даних про зобов’язання банків за коштами, залученими на рахунки суб’єктів господарювання та фізичних осіб (Таблиця 1, Рисунок 2).

Таблиця 1 – Розрахунок теоретичних частот нормального розподілу

Сума зобов'язань, тис.грн.	Кількість зобов'язань, од.	Середина інтервалу				Теоретична кількість	Округлена теоретична кількість кредитів
400-500	0	450	-431,25	-2,23	0,03351	0,28	0
500-600	2	550	-331,25	-1,71	0,09253	0,76	1
600-700	2	650	-231,25	-1,19	0,19574	1,62	2
700-800	4	750	-131,25	-0,68	0,31723	2,62	3
800-1000	5	900	18,75	0,10	0,39718	3,28	3
1000-1200	2	1000	118,75	0,61	0,33071	2,73	3
1200-1400	1	1300	418,75	2,16	0,03861	0,32	0
1400-1500	0	1450	568,75	2,94	0,00537	0,04	0

Порівнюючи отримані емпіричні та теоретичні частоти, впевнюємось, що їх розходження невеликі. На рисунку 2 видна відносно велика близькість фактичних частот розподілу до теоретичних.

Розглянемо одну нетривіальну ситуацію, що зустрічається в теорії ймовірності. Вона стосується важливої формули ймовірності появи випадкової помилки (або нормального закону розподілу ймовірності), в яку входить число . По цій формулі можна, наприклад, обчислити ймовірності падіння монети на герб 50 разів при 100 підкиданнях. Отже, звідки узялося в ній число ? Адже ніякі круги або кола там неначебто не присутні. А суть у тому, що монета падає випадковим чином в сферично симетричному просторі, по всіх напрямах якого і повинні враховуватися випадкові коливання. Математики так і роблять, інтегруючи по кругу і обчислюючи так званий інтеграл Пуассона, який рівний і входить у вказану формулу ймовірності. Наочною ілюстрацією таких коливань служить приклад із стріляниною по мішені в незмінних умовах. Дірочки на мішені розсіяні по кругу з найбільшою густиною біля центру мішені, а вірогідність попадання можна обчислити по тій же формулі, що містить число .

Сімейство функцій Пуассона широко використовується в теорії масового обслуговування. Розподіл Пуассона використовується, коли вимагається спрогнозувати очікувану чергу і розумно збалансувати число і продуктивність точок обслуговування і час очікування в черзі. Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром , де , якщо приймає значення з імовірністю . Необхідно відзначити, що пуассонівський розподіл є частковим випадком біноміального, коли кількість випробувань прагне до нескінченності, а ймовірність появи події в кожному досвіді прагне до 0.

Таким чином, використання інтегралу Пуассона є ефективним та перспективним методом аналізу варіаційних рядів, що дозволяє виявити закономірності формування і розвитку явищ.