Серов В

Серов В.В., к.т.н. Дуганов В.Я.

Дятьковский филиал Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова, Россия

Определение собственных частот колебаний массивного вращающегося кольца

Механическая обработка крупногабаритных круглых деталей, например колец диаметром от 6 до 10 метров, является сложной проблемой. Станок для обработки таких деталей представляет собой уникальный агрегат, зачастую единичного исполнения. Поэтому в мировой практике все шире находят применение переносные станки, которые сами транспортируются к детали, подлежащей обработке, базируются относительно неё и обрабатывают с достаточной точностью необходимые поверхности. При этом кольцо располагается на двух роликах и приводится ими во вращение. В процессе вращения кольцо подвергается со стороны роликов действию периодической внешней силы и при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебаний кольца возникает резонанс. Положение кольца будет нестабильным, и обработка кольца становится невозможной. Поэтому для выбора режима обработки нужно знать собственные частоты колебаний нагруженного вращающегося кольца, что и является целью настоящей работы.

Рассмотрим плоское кольцо, установленное в вертикальной плоскости на двух роликоопорах. Под действием гравитационных сил кольцо деформируется - его точки смещаются от первоначального положения на окружности радиуса R. Уравнение равновесия изотропного твердого тела имеет вид [1]

(1),

где - вектор деформации рассматриваемой точки тела, Е – модуль Юнга материала, s - коэффициент Пуассона, r - плотность материала. Статические решения уравнения (1) при соответствующих граничных условиях рассматривались в [2]. При переходе к динамике уравнение (1) должно быть модифицировано следующим образом

(2)

Решение уравнения (2) представляет сложную математическую задачу, требует хорошей математической квалификации и возможно только с помощью численных методов. Облегчить расчеты позволяют современные программные средства, в основу которых положен метод конечных элементов (МКЭ) [3]. Рассмотрим решение, поставленной задачи, с использованием этих средств.

Для решения задачи использован пакет КЭ-анализа ANSYS Structural. Геометрические построения выполнялись в графическом редакторе ANSYS. Возможно использование любого графического пакета для получения твердотельной модели. Наружный диаметр рассчитываемого в примере кольца составляет 6,1 метра, ширина 0,8 метра, внутренний диаметр ─ 5,3 метра. Материалом кольца является сталь ст.35, имеющая характеристики: плотность ─7800 кг/м3; модуль Юнга ─2,1E+11 Па; коэффициент Пуассона ─ 0.29. Было использовано статическое решение нагруженного кольца, полученное в [2]. Вращение кольца и роликов учитывалось добавлением в начальные условия центробежных сил инерции. Результаты определения собственных частот колебаний кольца приведены в таблице 1

Таблица 1

SET	TIME/FREQ	LOAD STEP	SUBSTEP	CUMULATIVE
1	26.050	1	1	1
2	91.863	1	2	2
3	113.15	1	3	3
4	192.78	1	4	4
5	292.42	1	5	5

Формы некоторых основных мод приведены на рис. 1.Для определения остроты резонанса нужно исследовать вынужденные колебания нагруженного кольца. К сожалению, ANSYS не позволяет решать задачи на вынужденные колебания для контактной задачи.

Рис. 1. Формы колебаний нагруженного кольца

Поэтому закрепим кольцо в месте расположения роликоопор и будем воздействовать на него периодически изменяющейся внешней силой. Частоту внешней силы будем изменять в пределах от 10 до 50 Гц. Именно в этих пределах и расположена первая резонансная частота, как это следует из таблицы 1. В результате решения задачи получаем график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты, изображенный на рис. 2. Из рис. 2 видно, что резонансная частота равна 26 Гц. Амплитуда вынужденных колебаний резко уменьшается при отклонении частоты от резонансной на ±4 Гц, что составляет 15% от резонансной частоты.

Как было экспериментально установлено В.Я. Дугановым, резонанс наблюдался при частоте вращения кольца 0,9 об/мин, что соответствует частоте 0,015 Гц. В то же время наименьшая собственная частота колебаний кольца как следует и таблицы 1 равна 26 Гц. Поэтому резонанс не может быть объяснен изгибными колебаниями кольца.

При исследовании колебаний тяжелого кольца не учитывалось, что кольцо не имеет идеальной круглой формы. Реальные кольца хорошо апроксимируются эллиптической формой. При вращении эллиптического кольца его центр масс перемещается по высоте. Сила тяжести будет стремиться переместить центр масс кольца в самое низшее положение. В результате возникают колебания кольца как единого целого. Вычислим частоту этих колебаний. Закон перемещения центра эллиптического кольца при вращении был определен в [4]:

x_c=(R+r)sina + ea₁sin2f, y_c=(R+r)cosa-eb₁cos2f+eb₂ (3),

где , , , R - внешний радиус кольца, r – радиус роликов, a - угол расположения роликоопоры, e - эксцентриситет эллипса. Наинизшее положение центра масс кольца соответствует углу поворота кольца f=0. Функция Лагранжа кольца определяется по формуле

(4),

где m – масса кольца, I – его момент инерции, x_c и y_c – координаты центра масс кольца. Подставив в (4) x_c и y_c из (3), получим:

(5)

Уравнение Лагранжа-Эйлера имеет вид:

(6)

Подставив L из (5) в (6) и учитывая малость угла f, получим уравнение колебаний кольца в виде

(7)

Согласно (7) величина собственной частоты колебаний кольца будет равна

(8)

Произведем вычисления для величины овальности кольца, равной 0,006 м, что соответствует e=3,92×10^-3. Тогда вычисление согласно (8) дает n₀=0.0136 Гц, (0,8 об/мин) что близко к значению, определенному экспериментально. При частоте вращения 3n₀=2,4 об/мин резонансом можно пренебречь и обработка кольца становится возможной.

Литература:

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М., Наука, 1965.

2. Дуганов В.Я., Чепчуров М.С., Серов В.В. О деформациях бандажей цементных печей при их механической обработке // Материалы Международной научно-практической конференции «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии» // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. – 2005. - №11. С. 309-313.

3. Басов К.А. ANSYS. Справочник пользователя. DMK, Москва, 2005.

4. Серов В.В., Дуганов В.Я. Обеспечение точности при бесцентровой обработке крупногабаритных массивных деталей. //Материалы II Международной научно-практической конференции «Передовые научные разработки – 2006» //(в печати).