Пенкина О.Е., Филиппенко О.И., Филиппенко И.Г.

УкрГАЖТ, г. Харьков

Представление дискретного преобразования Фурье для реализации на нейроавтоматно-сетевых структурах

Известно, что процесс решения задач включает следующие этапы:

1) постановку задачи; 2) создание математической модели решаемой задачи; 3) выбор технических средств (ТС), на которые предполагается отобразить решаемую задачу; 4) отыскание методов решения задачи на выбранном ТС; 5) алгоритмизацию; 6) отображение алгоритма на ТС; 7) выполнение алгоритма на ТС; 8) проверку правильности решения задачи; 9) отладку процесса решения задачи до получения правильного результата; 10) повторение п. 1-10, если решение не найдено.

Исторически четко прослеживается связь между типами ТС и математическими методами решения на них вычислительных задач. Математику начинают делить, например, на математическую физику, математическую экономию, нейросетевую математику и т.д. Не будем обсуждать правомерность таких названий. Дело в том, что этот факт существует.

Новое научное направление, связанное с разработкой теории нейроавтоматных сетей так же требует "своей" математики, которая позволила бы отобразить решаемые задачи на вычислительные нейроавтоматно-сетевые структуры.

В данной работе предложен метод приведения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) к виду, позволяющему его реализацию на нейроавтоматно сетевых структурах

Постановка задачи.

Дана последовательность отсчетов x₀, x₁,..., x_i,...,x_N‑1 функции x_i, заданной на интервале [0, N-1]. Конечный ряд Фурье представляет собой разложение функции x_i, и имеет следующий вид:

, (1)

где - приближенное значение i–го отсчета функции x_i, f₁- частота первой гармоники, k- номер гармоники, M - число гармоник.

Коэффициенты a_k и b_k вычисляются по следующим формулам:

, (2)

, (3)

где T- период прерывания. N - количество точек отсчета функции x_i.

Введя следующие обозначения:

, (4)

, (5)

уравнения (2) и (3) можно записать в виде:

, (6)

. (7)

Необходимо:

1) Преобразовать уравнения (6) и (7) к целочисленному, целозначному виду, позволяющему реализовать их на нейроавтоматно-сетевых структурах.

2) Преобразовать последовательность отсчетов функции в функцию , что повлечет за собой необходимость преобразования уравнений (6) и (7).

Все вышеперечисленное послужит основой для построения в перспективе нейроавтоматно-сетевой реализации целочисленного, целозначного преобразования Фурье.

Воспользуемся преобразованием "скаляр-вектор" для поиска зависимостей и и нахождения оптимальных значений величин квантования сигналов по уровням и. Сущность такого преобразования заключается в преобразовании значения скалярной величины в векторную. Значению входного сигнала x_i ставится в соответствие вектор Xi, как показано в формуле (21).

, (8)

x_r,i-ая компонента которого определяется как:

, (9)

где r – индекс компоненты вектора Xi. . 2L - число уровней преобразователя. l - номер уровня преобразователя "скаляр-вектор". d - целая положительная константа, которая определяется как d = q×c, где с – целое положительное действительное число, q - величина квантования сигнала по уровню в преобразователе "скаляр-вектор"; с - выбирается таким, чтобы результат произведения q×c был целым числом.

Применив скалярно-векторное преобразование к значениям x_i-ых отсчетов сигналов, и проделав несложные преобразования, ряд Фурье (1) в целочисленном, целозначном представлении примет следующий вид:

, (10)

где - приближенное значение.

В результате получены все необходимые формулы для осуществления приведения преобразования Фурье к целочисленному, целозначному виду.

Разработанная методика отображения математических зависимостей, представленных в целочисленном, целозначном виде, на нейроавтоматные сети применима для нейроавтоматно сетевой реализации целочисленного, целозначного преобразования Фурье.