Д.т.н. Серпик И.Н.
Брянская
государственная инженерно-технологическая академия, Россия
К.т.н. Лагутина А.А.
Брянский государственный технический университет, Россия
Лелетко А.А.
Брянская
государственная инженерно-технологическая академия, Россия
Динамика многопролетных
балок при запроектных
воздействиях в условиях упруго-пластических
деформаций материала
Разрабатывается
методика анализа несущей способности статически неопределимых балок при запроектных воздействиях. Алгоритм расчета предусматривает
динамический анализ конструкции с учетом возникновения пластических шарниров в
отдельных сечениях балки.
Рассмотрим
алгоритм анализа динамического поведения многопролетных балок при запроектных воздействиях на примере балки, показанной на
рис. 1, при внезапном разрушении опоры в точке C. Балка имеет двутавровое сечение № 30 и
изготовлена из конструкционной стали с пределом текучести 
= 250 МПа.
Рис. 1.
Неразрезная балка под действием двух одинаковых сосредоточенных сил P
Возможность учета упруго-пластического деформирования
балки обеспечим следующим образом. Считаем, что на участках балки между
пластическими шарнирами материал работает в упругой стадии, а для каждого
пластического шарнира приближенно реализуется схема идеального жестко-пластического деформирования. В места предполагаемого
образования пластических шарниров введем вспомогательные шарниры со связями,
имеющими переменную крутильную жесткость k (рис. 2, а). Жесткость связи k определяем по диаграмме (рис. 2, б), отражающей
зависимость изгибающего момента M от
взаимного угла поворота f сечений
балки слева и справа от шарнира. На диаграмме Mпл – это
пластический момент; fпл – некоторый
малый взаимный угол поворота, соответствующий моменту Mпл.
Рис. 2. Схема задания вспомогательного шарнира:
а – шарнир с
крутильной жесткостью k; б –
диаграмма нагружения и разгрузки для жесткости k
Значение Mпл определяем с помощью зависимости 
, где 
– пластический момент
сопротивления при изгибе. Для балки двутаврового сечения принимаем 
[1], где 
- момент сопротивления
поперечного сечения относительно оси y (для двутавра № 30 = 472×10-6 м3 ). В итоге имеем
= 135700 Н×м.
Для динамического анализа многопролетной балки
используем метод конечных элементов в форме метода перемещений. Нелинейную
динамическую задачу сводим к последовательному решению ряда линейных задач,
считая, что для каждого (i+1)-го шага расчета жесткость k(i+1) (i≥0) в
любом из вспомогательных шарниров определяется таким образом (см. рис. 2, б):
где
f(i) – значение
f в конце i-го шага; fр – угол в начале разгрузки.
На каждом шаге решается система линейных
дифференциальных уравнений для объекта, представленного на рис. 3:
при начальных условиях 
; 
, полученных по результатам выполнения предыдущего шага.
Здесь M – матрица масс; K – матрица
жесткости; 
– вектор узловых сил; 
и 
– векторы узловых
смещений, скоростей и ускорений; ti0 – время начала
i-го шага; 
– векторы узловых
смещений и скоростей при t = ti0. Вектор 
, а вектор 
определяется из
статического расчета балки на основе исходной расчетной схемы (см. рис. 1).
Рис. 3. Конечноэлементная модель для динамического анализа балки без
опоры С в условиях упруго-пластических деформаций материала
На рис. 3 штрихами обозначено разделение балки на
конечные элементы с введением в межэлементных сечениях вспомогательных
шарниров.
Интегрирование дифференциальных уравнений выполнялось с помощью метода Ньюмарка [2]. При этом на каждом i-м шаге решения задачи реализовался только один шаг данного метода.
Ограничиваемся анализом балки до того момента времени,
когда появившиеся пластические шарниры делают балку мгновенно изменяемой.
Динамические расчеты рассматриваемой балки показали, что такое состояние в
случае внезапного разрушения опоры в точке C достигается при
P = 318 кН. При P < 218 кН
пластических шарниров не образуется; при 218 кН £ P < 318 кН
система доводится до одного пластического шарнира (рис. 4, а); при P = 318 кН –
возникают два пластических шарнира (рис. 4, б).
Рис. 4. Схемы возникновения пластических шарниров в балке:
а – при 218 кН £ P < 318
кН; б – при P = 318 кН
Полученные в расчетах прогиб w и изгибающий момент M при P = 318 кН приведенs на рис. 5. В случае действия таких сил Р при внезапном разрушении опоры С в балке с течением времени образуется пластический шарнир в точке А. Затем пластическая область возникает в окрестности точки B с образованием второго пластического шарнира.
Расчеты показывают, что введение для рассматриваемой
задачи условия 
несущественно
сказывается на результатах определения нагрузок, при которых возникают
пластические шарниры. Это говорит о возможности оценок
динамического коэффициента для балки с использованием результатов расчетов
конструкции в статической постановке без опоры в точке С. Был выполнен статический расчет балки
по методу предельного равновесия на основе статической теоремы Гвоздева [1].
Предельное значение Р при этом
составило 422 кН с появлением пластического шарнира в точке А и изгибающего
момента, близкого к , в точке В. То есть коэффициент динамики для
данной задачи 
.
1 – t = 0 (момент внезапного разрушения опоры); 2 – t = 0,00176 с (момент образования
первого пластического шарнира в сечении x =
Рис. 5.
Результаты динамического анализа балки в случае внезапного разрушения опоры в
точке C: а – изогнутые оси балки; б – изгибающие моменты
Эпюра изгибающих моментов,
полученная для предельных статических сил Р=422 кН, показана на рис. 6,
откуда видно, что эта эпюра в значительной степени соответствует эпюре
изгибающих моментов для предельного состояния в динамическом расчете при Р=318 кН (см. рис. 5, график 3).
Рис. 6. Распределение изгибающих моментов по длине
балки, полученное для предельного состояния в статическом расчете
Таким образом, предлагаемая методика исследования динамики
балочных конструкций в упруго-идеально пластической
постановке позволяет получать подробную информацию об изменении во времени ее
напряженно-деформированного состояния при разрушении опорных элементов.
Результаты такого анализа могут быть использованы для оценок коэффициента
динамики балок с учетом запроектных воздействий.
Литература:
1. Раевский, А.Н. Расчет
стержневых конструкций в предельном состоянии по прочности и устойчивости /
А.Н. Раевский. – Пенза: ПГУАС, 2004. – 111 с.
2. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. – М.: Стройиздат, 1982 – 448 с.