Никифоров А.Г.

Государственный университет цветных металлов и золота

г. Красноярск, Россия

Возможность прогнозирования хрупкости простых твердых веществ

Хрупкость твердых веществ является важной технологической характеристикой. Однако до сих пор нет критериев ее оценки и, тем более, прогнозирования. В настоящей работе рассматривается один из возможных подходов для прогнозирования хрупкости твердых веществ.

Существует два вида разрушения твердых тел: хрупкое и пластичное. Реально в материале одновременно встречаются оба вида разрушения, и в самом хрупком кристалле бывает заметна пластическая деформация.

Согласно Оровану, теоретическая хрупкая прочность

σ_max = , (1)

а деформация при разрушении

ε_max = , (2)

где Е – модуль Юнга, γ - поверхностное натяжение, а₀ – период решетки.

В уравнениях (1), (2) одновременно присутствуют макроскопические характеристики прочности вещества: модуль Юнга и поверхностное натяжение, а также микрохарактеристика – период кристаллической решетки.

Для определения хрупкости вещества предлагается ввести новую величину – коэффициент хрупкости χ. Данная величина рассчитывается с использованием только микрохарактеристик вещества, какими являются энергия межатомного взаимодействия и параметр решетки.

Как правило, хрупкость веществ оценивают в процессе изгибания пластины из этого вещества: чем меньше угол, на который изогнется пластина до ее разрушения, тем выше хрупкость. Изгибание пластины сопровождается ее разрушением, т.е. разрывом межатомных связей на наружной стороне пластины. Для понимания взаимосвязи хрупкости с энергией разрыва межатомной связи рассмотрим кривую потенциальной энергии двух взаимодействующих между собой частиц (рис.1).

Рис. 1. Зависимость потенциала парного взаимодействия U(r) от расстояния между атомами r.

Различные виды потенциалов парного взаимодействия неоднократно применялись для расчета свойств, твердых веществ и жидкостей. В частности, Кихара, используя потенциал Леннарда – Джонса, решал задачи, связанные с упаковкой молекул в кристаллической решетке твердых тел и жидкостях [1, 2]. Потенциал Баркера – Помпа [3] был применен к исследованию свойств аргона в кристаллическом [4] и жидком [5] состояниях. Модули упругости для почти двух десятков металлов определили с большой степенью точности Гирифалько и Вайзер [6], используя потенциал Морзе.

В конденсированной фазе, в связи с большой плотностью упаковки атомов, выделить точно вклад двухчастичных взаимодействий в экспериментальные величины не представляется возможным. Это не означает, что экспериментальные данные не могут быть обработаны с использованием парных потенциалов. Но получаемые потенциалы будут не истинно парными, а эффективными, их параметры будут включать эффекты многочастичных взаимодействий [7].

Использование эффективных потенциалов при исследовании кристаллов оказалось полезным. Подгонка параметров потенциала по ряду экспериментально измеряемых характеристик дает возможность теоретически (полуколичественно) рассчитать все важнейшие характеристики кристалла.

Определим, как теоретически должен выглядеть критерий хрупкости через параметры парного потенциала. На рис.1, а приведены три кривые, описывающие изменение потенциальной энергии для трех различных взаимодействующих пар атомов. По виду этих кривых можно сделать заключение, что наиболее пластичными будут тела, состоящие из атомов первого сорта, а наиболее хрупкими – тела, состоящие из атомов третьего сорта. Это связано с тем, что в случае атомов первого сорта, можно значительно изменять расстояние между ними, как в сторону увеличения, так в сторону уменьшения. При этом кривая 1 потенциальной энергии идет более полого в сравнении с кривыми 2 и 3. В случае атомов третьего сорта, даже при незначительном изменении расстояния между ними, силы, приложенные к телу, превысят силу притяжения, и произойдет разрыв связи.

Момент разрыва связи будет зависеть от двух факторов –глубины потенциальной ямы и формы кривой потенциала парного взаимодействия (рис. 1, б). Поэтому за критерий хрупкости можно принять следующую величину:

(3)

где Δа – величина сжатия, при котором потенциальная энергия становится равной нулю, U₀ – глубина потенциальной ямы.

Возьмем парный потенциал Леннард - Джонса в форме предложенной Густавом Ми:

(4)

где r₀ – параметр решетки. Член описывает отталкивание, а - притяжение.

При равенстве нулю потенциальной энергии получим

(5)

Отсюда следует, что , а величина Δ а = r₀ –r = .

Тогда получим

(6)

Видно, что в этом случае критерий хрупкости получается довольно простым.

Рассмотрим, как критерий хрупкости можно выразить, используя потенциал Морзе:

(7)

Повторив все рассуждения, как и для потенциала Леннард – Джонса, получим:

Δа = ln2/α, (8)

(9)

Результаты расчета по формуле (9) с использованием данных работы [6] для металлов c кубической решеткой приведены в табл. 1. Прослеживается следующая закономерность. Для металлов 1 группы таблицы Менделеева (табл. 2), с увеличением атомного номера коэффициент хрупкости уменьшается, а равновесное межатомное расстояние растет. Сама по себе величина хрупкости для этих металлов мала. Как известно, они являются пластичными.

У металлов 2 группы хрупкость больше, чем 1 группы, а с увеличением атомного номера хрупкость падает (табл.3). Для металлов 6 группы, наоборот, с увеличением атомного номера коэффициент хрупкости растет при одновременном увеличении равновесного межатомного расстояния (табл.4). Для остальных групп делать какие-либо выводы сложно ввиду ограниченного набора данных.

Если проследить изменение хрупкости в одном ряду элементов при переходе от группы к группе, то здесь вновь прослеживается четкая зависимость между равновесным межатомным расстоянием и коэффициентом хрупкости. С увеличением межатомного расстояния хрупкость уменьшается (табл.5).

Таблица 1 Таблица 2

Металл	,эВ/	r0,
Na	0,026954	5,336
K	0,019470	6,369
Rb	0,014398	7,207
Cs	0,013445	7,557

Металл	α,^-1	r0,	D, эВ	,эВ/
Pb	1,18360	3,733	0,23480	0,200470
Ag	1,36900	3,115	0,33230	0,328150
Ni	1,41990	2,780	0,42050	0,430690
Cu	1,35880	2,866	0,34290	0,336100
Al	1,16460	4,569	0,27030	0,227070
Ca	0,80535	4,988	0,16230	0,094286
Sr	0,73776	2,976	0,15130	0,0805187
Mo	1,50790	2,976	0,80320	0,873653
W	1,41160	3,032	0,99060	1,008678
Cr	1,57210	2,754	0,41140	0,50056
Fe	1,38850	2,845	0,41740	0,41806
Ba	0,65698	5,373	0,14160	0,067105
K	0,49767	6,369	0,05424	0,01947
Na	0,58993	5,336	0,06334	0,026954
Cs	0,41569	7,557	0,04484	0,013445
Rb	0,42981	7,207	0,04644	0,014398

Металл	,эВ/	r0,
Ca	0,0942860	4,569
Sr	0,0805187	4,988
Ba	0,0671050	5,373

Таблица 3

Таблица 4 Таблица 5

Металл	,эВ/	r0,
K	0,01947	6,369
Ca	0,094286	4,569
Cr	0,50056	2,754
Fe	0,41806	2,845
Ni	0,43069	2,780

Металл	,эВ/	r0,
Cr	0,050056	2,754
Mo	0,873653	2,976
W	1,008678	3,032

Таким образом, введенный нами коэффициент хрупкости позволяет в случае простых веществ оценить количественно прочностные характеристики различных веществ. Основное преимущество коэффициента хрупкости в том, что он определяется через микрохарактеристики вещества: глубину потенциальной ямы и равновесное межатомное расстояние. Для его определения не требуется привлекать макрохарактеристики, какими являются модуль Юнга и величина поверхностного натяжения, зависящие от условий их измерения.

Литература:

1. Kihara T. – Revs. Mod. Phys., 1953, v.25, p.831.

2. Kihara T. – Adv. Chem. Phys., 1964, v.5, p.147.

3. Barker J.A., Pompe A. – Australian J. Chem., 1968, v.21, p.1683.

4. Bobetic M.V., Barker J.A. – Phys. Rev., 1970, v.B2, p.4169.

5. Barker J.A., Fisher R.A., Watts R.O. – Mol. Phys., 1971, v. 21, p.657.

6. Girifalco L.A., Weizer V.G. – Phys. Rev., 1959, v.114, p.687.

7. Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. – М.: Наука. 1982.