Липовский В.И.

Днепропетровский национальный университет

О РАСЧЕТЕ НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ ОРТОТРОПИЕЙ СВОЙСТВ

Основные уравнения решения задачи о напряженно деформированном состояния тел вращения с ортотропией механических свойств получены при помощи метода конечных элементов. Решение сводится к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений вектора перемещений дискретной модели: , где , . Матрица жесткости и вектор нагрузки в цилиндрической системе координат определяются соотношениями:

;

;

здесь , - соответственно проекции массовой силы и поверхностных нагрузок, действующих по конечному элементу, а и тепловая деформация и узловая нагрузка. Матрицы и определяются видом используемого конечного элемента, а матрица видом механической ортотропии. Для материалов с прямоугольной ортотропией механических свойств, у которых главные направления упругости совпадают с ортами цилиндрической системы координат, матрица упругих постоянных материала запишется:

,

где выражаются через модули упругости первого и второго рода и коэффициент Пуассона материала: ; ; ; ; ; .

Для различных случаев произвольно-ориентированной ортотропии механических свойств матрица упругих постоянных определяется при помощи допущения о постоянстве главных направлений упругости в каждом конечном элементе дискретной модели. Ориентация главных направлений упругости в теле задается в виде линейных участков, ориентированных углами , , по отношению к цилиндрической системе координат. Количество линейных участков равно количеству конечных элементов. Коэффициенты матрицы упругих постоянных вычисляются для произвольно-ориентированной ортотропии механических свойств при помощи суммы трех последовательных преобразований:

- поворота на угол относительно оси ;

- поворота на угол относительно оси и поворота на угол относительно оси .

Каждое преобразование является независимым и характеризует различные виды анизотропии механических свойств. Эти преобразования в матричном виде запишутся: , где T – матрица преобразования цилиндрической системы координат. Например, при повороте системы координат вокруг оси на угол она имеет вид:

,

а коэффициенты матрицы деформаций тела с криволинейной цилиндрической ортотропией механических свойств запишутся при помощи технических характеристики следующим образом:

;

; ;

; ;

;

;

; ;

; ; ;

; остальные равны нулю.

Задача об определении напряженно деформированного состояния в телах вращения с произвольной заданной ориентацией ортотропии механических свойств при помощи метода конечных элементов сводится к решению системы алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами матрицы деформаций по конечному элементу. Коэффициенты матрицы деформаций определяются формулами преобразования поворота главных направлений упругости ортотропного тела.