Шифрин Б.М.
Государственная летная академия Украины, г.Кировоград
Устойчивость к поперечным колебаниям
движущегося по взлетно-посадочной полосе самолета
Проблемы повышения безопасности
полетов и экономической эффективности транспортной авиации требуют, в частности,
изучения динамики движущегося по взлетно-посадочной полосе (ВПП) самолета.
Изучение наземных этапов движения самолетов с помощью математического
моделирования затруднено тем, что помимо аэродинамических сил на самолет
действуют силы со стороны ВПП, аналитическое представление которых составляет
сложную задачу [1].
В работах [2,3] предложена
математическая модель плоскопараллельного
движения самолета при наличии поперечной составляющей скорости его центра
масс. Самолет рассмотрен как механическая система, состоящая из двух упруго
связанных абсолютно твердых тел – корпуса и опор шасси. Составлена система
четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая
движение, если поперечная сила трения на пневматиках является заданной
квадратичной функцией угла бокового увода, а движущая сила зависит от
поперечной скорости корпуса самолета. Предложена система трех фазовых
переменных, при которых динамика поперечного движения объекта описывается
системой трех дифференциальных уравнений первого порядка. Выделен стационарный
режим движения и с помощью критериев Рауса-Гурвица установлен критерий потери
его устойчивости. Рассмотрены поперечные вибрации конструкции после потери
устойчивости. На основе работ [2,3] в работе [4] исследуется техническая
устойчивости процесса движения самолета с большой скоростью по ВПП при
воздействии сильного строго бокового ветра.
В настоящем сообщении рассматривается
задача [2,3]. Но движущаяся сила принята постоянной, а зависимость поперечной
силы трения от углов увода представлена функцией произвольного вида. В явном
виде получен критерий потери устойчивости стационарного режима движения.
Запишем уравнения поперечного
движения корпуса и опор шасси:
,
(1)
,
где 
и 
масса и поперечная координата корпуса и опор шасси
соответственно; 
жесткость упругой связи названных тел; 
движущая сила и сила
трения; точками обозначено дифференцирование по размерному времени 
. Понятно, что 
. Положим
,
где 
угол бокового увода колес шасси, 
продольная скорость центра масс самолета или скорость
пробежки. Введем обозначения для поперечных скоростей корпуса «1» и опор шасси
«2», а также деформации их упругой связи:
.
Перепишем уравнения (1) в виде системы (3):
; 
; 
, (3)
парциальные частоты колебаний.
При специальных начальных условиях
в системе (3) реализуется стационарный режим движения
, (4)
в ходе которого самолет движется как
отвердевшее тело. Задавая 
, деформацию 
и движущую силу 
, обеспечивающую режим (4), легко найти по формулам:
.
Изучим устойчивость режима (4).
Вариации фазовых переменных 
вблизи значений 
обозначим
соответственно 
и запишем уравнения в
вариациях, а также их характеристический полином:
;
,
где 
. С помощью теоремы об устойчивости многочлена 3-тьей степени
[5] заключаем, что изучаемый режим движения (4) устойчив, если
.
Иными словами, движение устойчиво, если точка 
находится на возрастающей
ветви кривой зависимости 
, и – неустойчиво, если находится на ниспадающей ветви. Этот
результат совпадает с результатами [2,3].
Как видим, устойчивость самолета к
поперечным колебаниям зависит, главным образом, от двух обстоятельств: а) вида
кривой зависимости поперечной силы трения на пневматиках от угла увода колес
шасси и б) величины поперечной скорости центра масс самолета. При движении на высокой скорости по ВПП с пониженным сцеплением на графике
функции при 
наблюдается падающий
участок, здесь 
критический угол увода или абсцисса стационарной точки
упомянутой функции [6]. Таким образом, существует опасность потери
устойчивости стационарного режима движения самолета. Потеря устойчивости
приводит к интенсивным поперечным вибрациям самолета и может служить причиной
снижения эффективности его курсовой управляемости. Отметим, что качественно
полученный результат применим к любым пневмоколесным транспортным машинам.
Литература
1. Лобас Л.Г. О системах с качением.//
Прикл. механика.- 2000.- 36, №5. C. 139-144.
2. Плахтиенко Н.П., Шифрин Б.М. Об
устойчивости движения самолета по взлетно-посадочной полосе при ветровой нагрузке.//
Прикл. механика.- 1999.- 35, №10. C.101-107.
3. Плахтиенко Н.П., Шифрин Б.М.
Поперечные упруго-фрикционные вибрации движущегося по взлетно-посадочной полосе
самолета.// Прикл. механика.- 2001.- 37, №5, C.136-143.
4. Матвийчук К.С. Исследование
технической устойчивости движения по взлетно-посадочной полосе самолета при
действии бокового ветра. // Прикл. механика.- 2001.- 37, №6. C.126-136.
5. Понтрягин Л.С. Дифференциальные
уравнения и их приложения. - М.: Наука, 1988.- 208 с.
6.
Savkoor A.R. Boundary conditions on models for
predicting tire to road traction.// Tire models for vehicle dynamics analysis:
Proc. of 1-st International colloquim on tire models.