Экономические науки/8.Математические методы в экономике

Юрченко К.А.

Днепропетровский национальный университет им. О.Гончара, Украина

Преодоление парадокса регрессии при оценке линейной зависимости в пассивном эксперименте

Традиционные методы оценки коэффициентов уравнения линейной зависимости основаны на минимизации квадратов отклонений наблюдаемых значений и значений уравнения прямой в точке, соответствующей значению аргумента (метод наименьших квадратов [1] – МНК).

y

(x_i,y_i)

Y_i,-y_i

(x_i,Y_i)

x

Рис. 1. Минимизируемое соотношение в традиционном МНК

наблюдаемое значение независимой переменной;

наблюдаемое значение зависимой переменной;

расчетное значение зависимой переменной.

В пассивном эксперименте, когда обе переменные x, y имеют случайных характер, выбор зависимой и независимой переменной в некоторой степени произволен. Рассматривая x как зависимую переменную от независимой переменной y, получим аналогичные соотношения с минимизацией отклонений по горизонтали.

y

(x_i,y_i)

(X_i,y_i)

X_i,-x_i

x

Рис. 2. Минимизируемое соотношение при обмене зависимой и независимой переменных

наблюдаемое значение независимой переменной;

наблюдаемое значение зависимой переменной;

расчетное значение зависимой переменной.

В уравнении значение зависит от выбора зависимой переменной. Если зависимая переменная , то

,

- коэффициент корреляции между и ;

- среднее квадратическое отклонение ;

- среднее квадратическое отклонение .

При выборе зависимой переменной получим

.

Если , то получим две различные прямые с разными углами наклона [ 2, с. 13-15].

Среднее значение логично определить по формуле средней геометрической

Таким образом, угол наклона прямой не зависит от тесноты взаимодействия переменных x, y.

Альтернативным вариантом оценки коэффициента является измерения расстояния от точки до прямой по перпендикуляру —ортогональная регрессия [2, с. 15-16] .

Расстояние от точки ( , ) до прямой определяется по формуле [3, с.19]

Тогда минимизируемое соотношение для МНК будет иметь вид

.

Для упрощения расчетов можно перенести начало координат в точку ( , ), перейдя к центрированным результатам наблюдения , Тогда

.

Возьмем производные по и приравняем их нулю

= 0,

= 0.

Рассмотрим первое из уравнений подробнее: вынесем общий множитель и приведем к общему знаменателю:

= 0.

Отбросим общий множитель и раскроем скобки

Выполним группировку по убыванию степеней

=0,

( =

.

После приведения подобных получаем

=0.

Разделив на получим квадратное уравнение относительно

-( ) =0.

Разделим на множитель при наибольшей степени

0.

Обозначив орни квадратного уравнения находим по общим правилам

.

Общее уравнение прямой в варианте легко преобразуется к традиционному виду уравнения регрессии Y=- для центрированных переменных. При этом соответствует значению , а значение находится из условия прохождения прямой через точку ( , )

.

Главный вопрос, который возникает при использовании линейной регрессии для прогнозирования, - это точность прогноза. Моделирование с помощью генератора случайных чисел показало, что использование расстояния по перпендикуляру до линейной линии регрессии менее эффективно по сравнению с прямой, имеющей коэффициент при независимой переменной Значение а₀ определяется традиционно, исходя из условия прохождения прямой через средние значения обоих переменных.

Литература:

1. Єріна А. М. Статистичне моделювання та прогнозування: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 2001. — 170 с.

2. Грешилов А.А., Стакун В.А., Стакун А.А. Математические методы построения прогнозов. – М.: Радио и связь, 1997. – 112 с.

3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Физматлит, 2006. – 336 с.