О решении задачи типа фильтрации двухфазной несжимаемой и несмешивающейся жидкости

 

Б. С. Кабатаева, Хаджи Ахмад Джоя

 

Казахский национальный университет имени аль-Фараби

 

Одной из важнейших задач повышения качества разработки и рационального использования природных ресурсов нефтяных месторождений является извлечение нефти. Поиск и реализация новых методов повышения нефтеотдачи пластов является одним из важнейших направлений в нефтедобывающей отрасли. При этом основными способами увеличения дебита эксплуатационной скважины являются заводнение пластов или вытеснение нефти оторочками из поверхностно-активных веществ, термическое воздействие, система газлифта и т.д. Однако достичь полного извлечения нефти или газа не удается. Это обусловлено рядом причин: сложностью поровой структуры пласта, его неоднородностью, действием капиллярных сил, влиянием смачивающих свойств пород, слагающих пласт и т.п.

Под фильтрацией понимают движение жидкостей в пористых средах, т. е. твердых телах, пронизанных системами сообщающихся между собой пустот (пор). В теории фильтрации принимается, что при выполнении ряда естественных предположений о поровых системах после соответ­ствующего усреднения такие пористые среды и заполняющие их жид­кости можно рассматривать как сплошные среды [1]. Основной безраз­мерной характеристикой пористой среды является пористость т(А), равная доле объема пор в бесконечно малом элементе среды, содержа­щем фиксированную точку А. В связи с задачами проектирования и эксплуатации нефтяных место­ рождений представляет большой интерес изучение математических воп­росов теории совместного движения в пористой среде двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей (например, нефти и воды) с плотностя­ми  и вязкостями  i=l , 2. Такое движение принято называть двух­ фазной (или двухкомпонентной) фильтрацией . Главные характеристики двухфазного фильтрационного движения — насыщенно­сти и скорости фильтрации  каждой жидкости в точке А в момент времени t. Под насыщенностью понимается локальная доля порового пространства, занятого i-й фазой. Заметим, что по определению . Под скоростью фильтрации  понимают скорость фиктивной жидкости, заполняющей всю среду, расход которой через любую площадку совпадает с расходом i-и фазы реальной жидкости.

Пусть дана (1)-(2) – задача Коши:

 

               (1)

(1) – Дифференциальное уравнение в частных производных

 

                    (2)

(2) – начальные условия.    

Введем дополнительные условия, обеспечивающие параболичность уравнения:

Преобразуем дифференциальное уравнение в частных производных (1) в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

Введем безразмерную переменную

,

где вещественные положительные постоянные, тогда .

Если  , то

таким образом

 

 

 

И, следовательно, наше уравнение (1) будет выглядеть следующим образом:

 

После простых преобразований уравнение примет вид:

 

                   (3)

 

Таким образом, дифференциальное уравнение  в частных производных (1) после преобразований привели к виду обыкновенного дифференциального уравнения (3).

Рассмотрим краевые условия для уравнения (3). Для начала краевые условия будем рассматривать на конечном отрезке , причем , затем будем расширять до :

                (4)

Применяя обычные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений получаем решение (3):

                    (5).

Используя краевые условия (4) определим значения :

Введем обозначение

Тогда решение краевой задачи (3)-(4) будет иметь вид:

 

Введем оператор такой что,

 

т.к. (данная функция является решением дифференциального уравнения (3)) и решение уравнения определено для банаховых пространств, но для Гильбертовых пространств может не всегда выполнятся, поэтому оператор - вполне непрерывный.

это означает, что для любой точки из промежутка  ставится в соответствие значение из этого промежутка .

В данном случае выполняется Теорема Шаудера о неподвижной точке.   

Следовательно задача имеет решение, т.е. решение существует.

 

Но теорема Шаудера не выполняет условие единственности решения.

Единственность решения можно рассмотреть следующим образом:

Пусть задача (3)-(4) имеет два решения . И данные функции удовлетворяют краевым условиям (4).

Пусть существует еще одно решение данной задачи .

Но, т.к.  являются решениями задачи (3)-(4), то они удовлетворяют краевым условиям (4). Следовательно, . Т.е.  (*)

Из теоремы Роля следует вывод, что внутри отрезка  найдется точка  в которой производная  равно нулю. Также из краевых условий (*) следует, что функция  равна нулю в точке .

Далее рассмотрим отрезки  и . На этих отрезках также найдутся точки  и  соответственно, в которых значение производной функции  равно нулю. С учетом (*) функция  равна нулю в данных точках.

 

Далее, аппроксимируя данный процесс, приходим к выводу, что функция  равна нулю в каждой точке отрезка .

Решение задачи единственно.

 

Литература:

1.     Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. - Новосибирск: Наука, 1988. - 166 с.

1.2. Bahaerguli Nulahemaiti, Guo Jindong, Ж.Д. Байшемиров. О некоторой постановке нестационарной фильтраций жидкости в упруго-пористом среде. Материалы международной конференции, Чехия – 2014. URL страницы: http://www.rusnauka.com/22_DNI_2014/Matemathics/4_174055.doc.htm

3.     Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1969 г., Вып. 2.